II etap Konkursu Matematycznego Podlaskiego Festiwalu Nauki i Sztuki

dla uczniów szkół średnich

1. W dużym naczyniu znajduje się 8 litrów wody. Naczynia 5- i 3- litrowe są puste Jak należy posłużyć się tymi naczyniami, aby odmierzyć 4 litry wody?

2. Tort ( w przekroju) ma kształt trapezu równoramiennego, którego górna podstawa, a także boki nierównoległe są dwa razy krótsze od podstawy dolnej. Jak podzielić tort na 3 i 4 przystające części?

3. Mamy 6 monet i wagę szalkową, ale bez odważników. Jaka jest najmniejsza liczba ważeń, jakie trzeba wykonać na tej wadze, aby wykryć fałszywą monetę, która jest między tymi monetami i dowiedzieć się, czy jest ona lżejsza czy cięższa od prawdziwej?

4. Ażeby wyciągnąć 1 duszę z czyśćca kardynał musi modlić się przez godzinę, biskup przez trzy, ksiądz przez pięć godzin, a zakonnik przez siedem. Ile czasu zajmie im wyciągniecie trzech dusz, jeśli wszyscy będą modlić się równocześnie? Która z podanych odpowiedzi jest najbliższa właściwej

A. 1h 41 ½ min B. 1h 47 ½ min C. 1 h 46 min D. 5 h 20 min E. wieczność

5. W klasie jest 25 uczniów. 17 z nich umie jeździć na rowerze, 13 umie pływać, a 8 jeździ na nartach. Żaden uczeń nie uprawia wszystkich trzech sportów, ale zarówno rowerzyści jak pływacy i narciarze mają wszyscy dobre lub dostateczne oceny z matematyki, co jest tym znamienniejsze, że 6 uczniów ma niedostateczne wyniki z tego przedmiotu. Ile uczniów ma bardzo dobrą ocenę z matematyki? Ile pływaków umie jeździć na nartach?

6. W pokoju są trzy żarówki. Trzy włączniki do tych żarówek znajdują się w sąsiednim pokoju. Jak
należy postąpić, żeby po jednokrotnym przejściu z pokoju do pokoju ustalić, które przełączniki dotyczą każdej z tych trzech żarówek (podpatrywanie przez jakikolwiek otwór w ścianie nie wchodzi w grę)?

ODPOWIEDZI lub SZKICE ROZWIĄZAŃ:

Odp. zad.1: Niech zapis (x,y,z) oznacza, że w pierwszym naczyniu znajduje się x, w drugim y, a w trzecim z litrów wody. Pogrubieniem zaznaczymy naczynie do którego woda została przelana. Z następującego zapisu odczytujemy, jaki ciąg operacji należy wykonać, by w pierwszym naczyniu znalazły się 4 litry wody: (8,0,0) (5,0,3) (5,3,0) (2,3,3) (2,5,1) (7,0,1) (7,1,0) (4,1,3)

Odp. zad.2:

Odp. zad.3: Jedno z rozwiązań: Dzielimy ogół monet na trzy grupy, tak by w pierwszej grupie była jedna, w drugiej dwie, a w trzeciej trzy monety. Ważymy całe grupy ( wykorzystując trzy ważenia), oznaczając przez A, B, C ciężary odpowiednio pierwszej, drugiej i trzeciej grupy. Niech X oznacza ciężar monety oryginalnej, a Y ciężar falsyfikatu. Istnieją trzy możliwości:

1) B=2A i C ¹ 3A

2) C=3A i B ¹ 2A

3) C=3/2B i B ¹ 2A.

W pierwszym wypadku mamy X=A i Y=C-B

W drugim: X=A i Y=B-A

W trzecim zaś: X=½B i Y=A.

Odp. zad.4: Prawidłowa jest odpowiedź B.

Odp. zad. 5: Uczniów jest 25. Sześciu uczniów ma oceny niedostateczne z matematyki, więc uczniów z ocenami ³ 3 jest 19 i tylu jest sportowców. Sportowców – uczniów jest 17 + 13 + 8 = 38, ale ponieważ żaden nie uprawia wszystkich trzech konkurencji, więc uprawiających jest 19 i każdy uprawia dwa sporty jednocześnie.

a) Żaden uczeń nie ma oceny bardzo dobrej z matematyki.

b) Spośród 19, 17 umie jeździć na rowerze. Wobec tego 2 uczniów umie pływać i jeździć na nartach.

Odp. zad. 6: Będąc w pokoju z włącznikami należy najpierw nacisnąć włącznik a, po kilku minutach b i przejść do pokoju z żarówkami. Jedna z dwóch świecących żarówek będzie cieplejsza; ta odpowiada włącznikowi a. Włącznikowi b odpowiada druga świecąca, natomiast włącznikowi c – żarówka nieświecąca